Somme des carrés des écarts à la moyenne

La somme des carrés est une technique statistique utilisée dans l’analyse de régression pour déterminer la dispersion des points de données. Dans une analyse de régression , l’objectif est de déterminer dans quelle mesure une série de données peut être ajustée à une fonction qui pourrait aider à expliquer comment la série de données a été générée. La somme des carrés est utilisée comme moyen mathématique pour trouver la fonction qui correspond le mieux (varie le moins) à partir des données.

La formule de la somme des carrés est
Pour un ensemble X de n éléments:

:
XJe: un élément de l’ensemble
X̅  : la moyenne de tous les éléments de l’ensemble
(XJe – X̅ ): l’écart de chaque élément de la moyenne

La somme des carrés est également appelée variation.

Que vous dit la somme des carrés?

La somme des carrés est une mesure de l’écart par rapport à la moyenne. En statistique, la moyenne est la moyenne d’un ensemble de nombres et est la mesure de tendance centrale la plus couramment utilisée . La moyenne arithmétique est simplement calculée en additionnant les valeurs dans l’ensemble de données et en les divisant par le nombre de valeurs.

Disons que les cours de clôture de Microsoft  au cours des cinq derniers jours étaient de 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 et 73,40 en dollars américains. La somme des prix totaux est de 369,73 $ et le prix moyen serait donc de 369,73 $ / 5 = 73,95 $.

Mais connaître la moyenne d’un ensemble de mesures n’est pas toujours suffisant. Parfois, il est utile de connaître la variation d’un ensemble de mesures. La distance entre les valeurs individuelles et la moyenne peut donner un aperçu de l’adéquation des observations ou des valeurs au modèle de régression créé.

Par exemple, si un analyste souhaite savoir si le cours de l’action de Microsoft évolue en parallèle avec le cours d’Apple, il peut énumérer l’ensemble des observations pour le processus des deux actions pendant une certaine période, disons 1, 2 ou 10 ans et créer un modèle linéaire avec chacune des observations ou mesures enregistrées. Si la relation entre les deux variables (c.-à-d. Le prix de l’Apple et le prix du Microsoft) n’est pas une ligne droite, il y a des variations dans l’ensemble de données qui doivent être examinées de près.

En termes statistiques, si la ligne du modèle linéaire créé ne passe pas par toutes les mesures de valeur, alors une partie de la variabilité qui a été observée dans les cours des actions est inexpliquée. La somme des carrés est utilisée pour calculer s’il existe une relation linéaire entre deux variables, et toute variabilité inexpliquée est appelée la somme résiduelle des carrés .

La somme des carrés est la somme du carré de variation, où la variation est définie comme l’écart entre chaque valeur individuelle et la moyenne. Pour déterminer la somme des carrés, la distance entre chaque point de données et la ligne de meilleur ajustement est au carré, puis additionnée. La ligne de meilleur ajustement minimisera cette valeur.

Comment calculer la somme des carrés

Vous pouvez maintenant voir pourquoi la mesure est appelée la somme des carrés des écarts , ou la somme des carrés pour faire court. En utilisant notre exemple de Microsoft ci-dessus, la somme des carrés peut être calculée comme suit:

SS = (74,01 – 73,95) 2 + (74,77 – 73,95) 2 + (73,94 – 73,95) 2 + (73,61 – 73,95) 2 + (73,40 – 73,95) 2
SS = (0,06) 2 + (0,82) 2 + (-0,01) 2 + (-0,34) 2 + (-0,55) 2
SS = 1.0942
L’ajout de la somme des écarts seuls sans mise au carré se traduira par un nombre égal ou proche de zéro puisque les écarts négatifs compenseront presque parfaitement les écarts positifs. Pour obtenir un nombre plus réaliste, la somme des écarts doit être au carré. La somme des carrés sera toujours un nombre positif car le carré de n’importe quel nombre, positif ou négatif, est toujours positif.

Exemple d’utilisation de la somme des carrés

Sur la base des résultats du calcul Microsoft, une somme élevée au carrés indique que la plupart des valeurs sont plus éloignées de la moyenne et, par conséquent, il existe une grande variabilité dans les données. Une faible somme de carrés fait référence à une faible variabilité dans l’ensemble des observations.

Dans l’exemple ci-dessus, 1.0942 montre que la variabilité du cours des actions de Microsoft au cours des cinq derniers jours est très faible et que les investisseurs qui cherchent à investir dans des actions caractérisées par la stabilité des prix et une faible volatilité peuvent opter pour Microsoft.

Retenons
  • La somme des carrés mesure l’écart des points de données par rapport à la valeur moyenne.
  • Un résultat de somme des carrés plus élevé indique une grande variabilité au sein de l’ensemble de données, tandis qu’un résultat plus faible indique que les données varient considérablement de la valeur moyenne.

Limitations de l’utilisation de la somme des carrés

Prendre une décision d’investissement sur le stock à acheter nécessite beaucoup plus d’observations que celles répertoriées ici. Un analyste peut avoir à travailler avec des années de données pour savoir avec une plus grande certitude à quel point la variabilité d’un actif est élevée ou faible. À mesure que plus de points de données sont ajoutés à l’ensemble, la somme des carrés devient plus grande à mesure que les valeurs sont plus étalées.

Les mesures de variation les plus utilisées sont l’ écart-type et la variance . Cependant, pour calculer l’une des deux mesures, la somme des carrés doit d’abord être calculée. La variance est la moyenne de la somme des carrés (c’est-à-dire la somme des carrés divisée par le nombre d’observations). L’écart type est la racine carrée de la variance.

Il existe deux méthodes d’analyse de régression qui utilisent la somme des carrés: la méthode des moindres carrés linéaires et la méthode des moindres carrés non linéaires. La méthode des moindres carrés fait référence au fait que la fonction de régression minimise la somme des carrés de la variance par rapport aux points de données réels. De cette façon, il est possible de dessiner une fonction qui fournit statistiquement le meilleur ajustement pour les données. Notez qu’une fonction de régression peut être linéaire (une ligne droite) ou non linéaire (une ligne courbe).


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